مجسم كاتالان

مجموعة من مجسمات كاتالان
إنشاء اثني عشري الوجوه المعينية، متعدد الوجوه الثِّنْوِيّ لِذي الوجوه المكعبي الثماني، عن طريق إنشاء دورمان لوك.

مجسمات كاتالان (بالإنجليزية: Catalan solids) هي متعددات الوجوه الثِّنْوِيَّة للمجسمات الأرخميدية. المجسمات الأرخميدية هي متعددات الوجوه الثلاثة عشر عالية التناظر ذات وجوه منتظمة ورؤوس متناظرة.[1] تتوافق وجوه مجسمات كاتالان من خلال الثنوية مع رؤوس المجسمات الأرخميدية، والعكس بالعكس.[2] إحدى طرق إنشاء مجسمات كاتالان هي إنشاء دورمان لوك.[3]

مجسمات كاتالان هي انتقالية الوجوه أو متساوية الوجوه، مما يعني أن وجوهها متناظرة مع بعضها البعض، لكنها ليست انتقالية الرؤوس لأن رؤوسها ليست متناظرة. أما ثنوياتها، وهي المجسمات الأرخميدية، فهي انتقالية الرؤوس ولكنها ليست انتقالية الوجوه. كل مجسم كاتالان له زوايا ثنائية الوجه ثابتة، مما يعني أن الزاوية بين أي وجهين متجاورين هي نفسها.[1] بالإضافة إلى ذلك، يوجد مجسما كاتالان، وهما اثنا عشري الوجوه المعينية وثلاثوني الوجوه المعينية، وهما انتقاليَا الحروف، مما يعني أن حروفهما متناظرة مع بعضها البعض.[بحاجة لمصدر] اكتشف يوهانس كيبلر بعض مجسمات كاتالان أثناء دراسته لمتعددات الوجوه النُّطُقِيَّة، وأكمل أوجين كاتالان قائمة المجسمات الثلاثة عشر في عام 1865.[4]

ثمة مجسمَا كاتالان، ذو 24 وجهًا مخمسًا وستوني الوجوه المخمسة، وهما يدوانيان، مما يعني أن هذين المجسمين ليسا صورتين مرآتين لهما. وهما ثنويَّا للمكعب الأفطس واثني عشري الوجوه الأفطس على الترتيب، وهما أيضًا يدوانيان.

من المعروف أن 11 من أصل 13 جسم كاتالان تتمتع بخاصية روبرن، وهي أن نسخة من نفس المجسم يمكن أن تمر عبر ثقب في المجسم.[5]

مجسمات كاتالان الثلاثة عشر
الاسم الصورة الوجوه الحروف الرؤوس الزاوية ثنائية الوجه[6] الزمرة النقطية
رباعي الوجوه المثلوثة Triakis tetrahedron 12 مثلث متساوي الساقين 18 8 129.521° Td
اثنا عشري الوجوه المعينية Rhombic dodecahedron 12 معين 24 14 120° Oh
ثماني الوجوه المثلوثة Triakis octahedron 24 مثلث متساوي الساقين 36 14 147.350° Oh
سداسي الوجوه المربوعة Tetrakis hexahedron 24 مثلث متساوي الساقين 36 14 143.130° Oh
ذو 24 وجهًا حدئيًا Deltoidal icositetrahedron 24 حدأة 48 26 138.118° Oh
اثنا عشري الوجوه مضاعفة الثني Disdyakis dodecahedron 48 مثلث مختلف الأضلاع 72 26 155.082° Oh
ذو 24 وجهًا مخمسًا Pentagonal icositetrahedron (Ccw) 24 مخمس 60 38 136.309° O
ثلاثوني الوجوه المعينية Rhombic triacontahedron 30 معين 60 32 144° Ih
عشروني الوجوه المثلوثة Triakis icosahedron 60 مثلث متساوي الساقين 90 32 160.613° Ih
اثنا عشري الوجوه المخموسة Pentakis dodecahedron 60 مثلث متساوي الساقين 90 32 156.719° Ih
ستوني الوجوه الحدئية Deltoidal hexecontahedron 60 حدأة 120 62 154.121° Ih
ثلاثوني الوجوه مضاعفة الثني Disdyakis triacontahedron 120 مثلث مختلف الأضلاع 180 62 164.888° Ih
ستوني الوجوه المخمسة Pentagonal hexecontahedron (Ccw) 60 مخمس 150 92 153.179° I

المراجع

الحواشي

  1. 1 2 Diudea (2018).
  2. ↑ Wenninger (1983).
  3. ↑
  4. ↑ نسخة محفوظة 2024-10-08 على موقع واي باك مشين.
  5. ↑ Fredriksson (2024).
  6. ↑ Williams (1979).

الأعمال المستشهد بها

  • Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (بالإنجليزية) (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR:0124167.
  • Diudea, M. V. (2018), Multi-shell Polyhedral Clusters, Carbon Materials: Chemistry and Physics (بالإنجليزية), Springer, vol. 10, DOI:10.1007/978-3-319-64123-2, ISBN:978-3-319-64123-2, Archived from the original on 2024-06-14.
  • Fredriksson, Albin (2024), "Optimizing for the Rupert property", شهرية الرياضيات الأمريكية (بالإنجليزية), vol. 131, pp. 255–261, arXiv:2210.00601, DOI:10.1080/00029890.2023.2285200.
  • Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (بالإنجليزية), vol. 36, pp. 617–642, DOI:10.1080/00207390500064049, S2CID:120818796.
  • Heil, E.; Martini, H. (1993), "Special convex bodies", In Gruber, P. M.; Wills, J. M. (eds.), Handbook of Convex Geometry (بالإنجليزية), North Holland, ISBN:978-0-08-093439-6, Archived from the original on 2023-05-28
  • Wenninger, Magnus (1983), Dual Models (بالإنجليزية), Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-54325-5, MR:0730208
  • Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design (بالإنجليزية). Dover Publications, Inc. ISBN:0-486-23729-X. (Section 3-9)

روابط خارجية

هذه المقالة صادرة عن Wikipedia. النص متاح تحت رخصة المشاع الإبداعي - الإسناد - الترخيص بالمثل. قد تُطبَّق شروط إضافية على ملفات الوسائط.