قائمة المتطابقات المثلثية

في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.^[1]

ملاحظات

لتجنب الالتباس حول (sin⁻¹(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الدالة		الدالة العكسية		المقلوب		معكوس المقلوب
جيب الزاوية	sin	قوس جيب الزاوية	arcsin	قاطع تمام الزاوية	csc	قوس قاطع تمام الزاوية	arccsc
جيب تمام الزاوية	cos	قوس جيب تمام الزاوية	arccos	قاطع الزاوية	sec	قوس قاطع الزاوية	arcsec
ظل الزاوية	tan	قوس ظل الزاوية	arctan	ظل تمام الزاوية	cot	قوس ظل تمام الزاوية	arccot

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

الدرجات	30	45	60	90	120	180	270	360
الراديان	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$\pi$	$3\pi /2$	$2\pi$
غراد	33 ⅓	50	66 ⅔	100	133 ⅓	200	300	400

علاقات أساسية

متطابقة فيثاغورس المثلثية	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$
متطابقة النسبة	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.
الدالة	$(\sin \theta )$	$(\cos \theta )$	$(\tan \theta )$	$(\csc \theta )$	$(\sec \theta )$	$(\cot \theta )$
$\sin \theta =$	$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\$	${\frac {1}{\csc \theta }}\$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\$	$\cos \theta \$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\$	${\frac {1}{\sec \theta }}\$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\$	$\tan \theta \$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\$	${\frac {1}{\cot \theta }}\$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}\$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\$	$\csc \theta \$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\$	${\frac {1}{\cos \theta }}\$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\$	$\sec \theta \$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\$	${\frac {1}{\tan \theta }}\$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\$	$\cot \theta \$

التطابق، والإزاحة والدورية

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

انعكاس في $\theta =0$	انعكاس في $\theta =\pi /2$ (متطابقة مساعدة)	انعكاس في $\theta =\pi$
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

الإزاحة والدورية

$θ$ مزاحة بمقدار π/2	$θ$ مزاحة بمقدار π	$θ$ مزاحة بمقدار 2π
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

متطابقات مجموع وفرق الزوايا

الجيب	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,$
جيب التمام	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
الظل	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
قوس الجيب	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})$
قوس جيب التمام	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})$
قوس الظل	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

شكل المصفوفة

\left[{\begin{matrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{matrix}}\right].

جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)

\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)

ظلال مجاميع حدود محدودة

\tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},

مثال:

{\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}

وهكذا

قواطع مجاميع حدود محدودة

\sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}

مثلا,

\sec(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}.

صيغ الزوايا المتعددة

T_n هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n	$\cos n\theta =T_{n}(\cos \theta )\,$
صيغة دي موافر، $i$ هي وحدة تخيلية	$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,$

1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.

صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا

أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس

صيغ ضعف زاوية

\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}

\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}

\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}

\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}

صيغ ثلاثة أضعاف زاوية

\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin({\frac {\pi }{3}}-\theta )\sin({\frac {\pi }{3}}+\theta )

\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos({\frac {\pi }{3}}-\theta )\cos({\frac {\pi }{3}}+\theta )

\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan({\frac {\pi }{3}}-\theta )\tan({\frac {\pi }{3}}+\theta )

\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}

\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}

\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}

صيغ نصف زاوية

{\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\end{aligned}}

حيث $\operatorname {sgn} x=\pm 1$ و $\lfloor f(x)\rfloor$ هي دالة الجزء الصحيح.

\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}

\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}

\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}

{\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}

\cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}

^[2]^[3]

أيضا: $\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}$

\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta

{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}

جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

\sin n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)

\cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)

\tan \,(n{+}1)\theta ={\frac {\tan n\theta +\tan \theta }{1-\tan n\theta \,\tan \theta }}.

\cot \,(n{+}1)\theta ={\frac {\cot n\theta \,\cot \theta -1}{\cot n\theta +\cot \theta }}.

ظل المتوسط

\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}

جداء Viète اللانهائي

\cos \left({\theta  \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta  \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta  \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta  \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري وهي تكافئ $\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$

صيغ اختصار الأس

جيب	جيب التمام	أخرى
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}$

	جيب التمام	جيب
إذا كان n فردي	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\sin {((n-2k)\theta )}$
إذا كان n زوجي	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}$

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس

من الجداء إلى المجموع
$\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}$
$\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$
$\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}$

من المجموع/الفرق إلى الجداء
$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)$

متطابقات أخرى ذات صلة

إذا كانت

x+y+z=\pi

تساوي نصف دائرة، فإن:

\tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)

و

\sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin(x)\sin(y)\sin(z)

مبرهنة بطليموس

إذا كانت

w+x+y+z=\pi

تساوي نصف دائرة، فإن:

{\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}

مركبات خطية

a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,

حيث: $\varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}$

أو: $\varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0.\end{cases}}$

a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,

حيث: $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,$

و: $\beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}$

مجاميع أخرى للدوال المثلثية

\sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.

\cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.

a\cos(x)+b\sin(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(x-\operatorname {atan2} \,(b,a))\;

\tan(x)+\sec(x)=\tan \left({x \over 2}+{\pi  \over 4}\right).

\cot(x)\cot(y)+\cot(y)\cot(z)+\cot(z)\cot(x)=1.\,

تحويلات كسرية خطية معينة

f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},

وبالمثل: $g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},$

وعليه: $f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.$

f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,

الدوال المثلثية العكسية

\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;

\arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;

\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.

مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

$\sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$\cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

علاقة بالأس المركب

e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,

(صيغة أويلر),

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)\,

e^{i\pi }=-1\,

\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;

\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;

\tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}

حيث $i^{2}=-1$ .

صيغ الجداء اللانهائي

\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)

\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)

\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)

\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)

المتطابقات الخالية من المتغيرات

\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}

\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.

\cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},

\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.

\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.

\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)

\,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.

حساب π

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

{\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.

بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

{\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}

قيم أخرى شيقة

\sin {\frac {\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {\sqrt {7}}{189}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j+1)!}{189^{j}j!\,(2j+2)!}}\!

\sin {\frac {\pi }{18}}={\frac {1}{6}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j)!}{27^{j}j!\,(2j+1)!}}\!

بـالنسبة الذهبية φ:

\cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}=\varphi /2

\sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }

التفاضل والتكامل

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0

محققة باستخدام هذه المتطابقة $tan x / 2 = 1 - cos x / sin x$ . بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن $(sin x)' = cos x$ و $(cos x)' = -sin x$ . إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

{\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}\

يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C

تعاريف أسية

الدالة	الدالة المعكوسة
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$

$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,$