دوال زائدية عكسية

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد $\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ في النقاط $\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)$ , حيث $\scriptstyle a$ تكون المساحة بين نصف المستقيم، وانعكاسه بالنسبة للمحور $\scriptstyle x$ ، والقطع الزائد.

الدوال الزائدية العكسية (ويطلق عليها أيضا اسم الدوال المساحية)^[1] هي الدوال العكسية للدوال الزائدية.

للحصول على قيمة معينة من دالة الزائدية، توفر الدالة الزائدية العكسية المقابلة الزاوية الزائدية المقابلة. حجم الزاوية الزائدية يساوي مساحة القطاع الزائدي المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1، أو ضعف مساحة القطاع المقابل لقطع زائد الوحدة الذي معادلته x² − y² = 1، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ضعف مساحة القطاع الدائري لدائرة الوحدة.^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

تدخل الدوال الزائدية ومعكوساتها في العديد من المعادلات التفاضلية الخطية، على سبيل المثال، معادلة السلسلي، بعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية وانتقال الحرارة وجريان الموائع والنسبية الخاصة .

التدوين

التدوين أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بنصفي مستقيم، مثال: arsinh ،arcosh.

يفضل مؤلفون آخرون استخدام التدوين (argsinh، وargcosh، وargtanh)، حيث البادئة arg- هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum^[10] التي تعني "عُمْدة"، هذا التدوين اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي، عمدة جيب تمام الزائدي، ... وهكذا.

في علوم الحاسوب، تُختصَر الدوال غالبًا باستخدام البادئة a-، مثل asinh.

العبارات اللوغاريتمية للدوال

د.ع للجيب الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ:

\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)

د.ع لجيب التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال : $[1,+\infty [$ بـ:

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

د.ع للظل الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-1,1[$ بـ:

\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)

د.ع لظل التمام الزائدي

دالة معرفة على المجال $]-\infty ,-1[\cup ]1,+\infty [$ بـ:

\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)

د.ع للقاطع الزائدي

دالة معرفة على المجال $]0,1]$ بـ:

\operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)

د.ع لقاطع التمام الزائدي

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:

\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)

إثبات

الطريقة 1

$\forall x\in [1,+\infty [\;:\;\operatorname {arcosh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$

نضع:

${\begin{aligned}y&=\operatorname {arcosh} (x);\quad x\geq 1\\x&=\operatorname {cosh} (y);\quad \ \ \ \ y\geq 0\end{aligned}}$

لدينا:

$\cosh(y)+\sinh(y)=e^{y}....(*)$

و

$\cosh ^{2}(y)-\sinh ^{2}(y)=1$

إذن :

$\sinh ^{2}(y)=\cosh ^{2}(y)-1$

ومنه:

{\begin{aligned}|\sinh(y)|&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\;;\;y\geq 0\Rightarrow \sinh(y)\geq 0\\\sinh(y)&={\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\\(*)&:\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}=e^{y}\\\Rightarrow y&=\ln \left(\cosh(y)+{\sqrt {\cosh ^{2}(y)-1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\end{aligned}}

الطريقة 2

نعتبر دالة جيب التمام العكسية التالية : $y=\operatorname {arcosh} x$

بالتعريف:

x=\cosh y={\frac {e^{y}+e^{-y}}{2}}

2x={e^{y}+e^{-y}}

e^{y}-2x+e^{-y}=0

e^{y}-2x+{\frac {1}{e^{y}}}=0

e^{2y}-2xe^{y}+1=0

نضع $u=e^{y}$ :

u^{2}-2xu+1=0

نحل المعادلة من الدرجة الثانية:

u={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}

e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}

e^{y}={\frac {2x\pm {\sqrt {4(x^{2}-1)}}}{2}}

2e^{y}={2x\pm 2{\sqrt {x^{2}-1}}}

e^{y}={x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}

ندخل اللوغاريتم الطبيعي الطرفين:

\ln e^{y}=\ln \left(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right)

y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

ومنه نستنتج أن:

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)

صيغ الجمع

\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)

\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)

\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}

تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية

{\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}

المشتقات

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}

إثبات:

نضع على سبيل المثال $θ = arsinh x$ (حيث $sinh 2 θ = (sinh θ) 2$ ):

{\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.

التكاملات

\int \operatorname {arsinh} (x)\,dx=x\operatorname {arsinh} (x)-{\sqrt {x^{2}+1}}+C

\int \operatorname {arcosh} (x)\,dx=x\operatorname {arcosh} (x)-{\sqrt {x^{2}-1}}+C

\int \operatorname {artanh} (x)\,dx=x\operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C

\int \operatorname {arcoth} (x)\,dx=x\operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C

\int \operatorname {arsech} (x)\,dx=x\operatorname {arsech} (x)-{2}\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+C

\int \operatorname {arcsch} (x)\,dx=x\operatorname {arcsch} (x)+\operatorname {arcoth} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+C

متسلسلات

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:

{\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}

انظر أيضًا

دوال مثلثية عكسية

مراجع

↑ ترجمة اقتراضية من الإنجليزية Area functions.
↑ Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". Handbook of Mathematics (5 ed.). سبرنجر. p. 91. doi:10.1007/978-3-540-72122-2. ISBN 3-540-72121-5.
↑ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 ed.). Department of Physics, جامعة كونستانز. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
↑ Mejlbro, Leif (2006). Real Functions in One Variable – Calculus (PDF). 1a (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 87-7681-117-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
↑ Mejlbro, Leif (2008). The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples (PDF). c-9 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-395-6. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 10 نوفمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
↑ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF). a-3 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. ISBN 87-7681-702-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
↑ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 89. ISBN 978-956141314-6. ISBN 956141314-0. "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)
↑ Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide (2 ed.). سبرنجر. ISBN 978-364254124-7. ISBN 3642541240. "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)
↑ Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf نسخة محفوظة 2019-11-10 على موقع واي باك مشين.
↑ Bacon، Harold Maile (1942). Differential and Integral Calculus. McGraw-Hill. ص. 203. مؤرشف من الأصل في 2014-07-26.

[1] ترجمة اقتراضية من الإنجليزية Area functions.

[Bronshtein_2005-2] Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". Handbook of Mathematics (5 ed.). سبرنجر. p. 91. doi:10.1007/978-3-540-72122-2. ISBN 3-540-72121-5.

[Ebner_2005-3] Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 ed.). Department of Physics, جامعة كونستانز. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.

[Mejlbro_2006-4] Mejlbro, Leif (2006). Real Functions in One Variable – Calculus (PDF). 1a (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 87-7681-117-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.

[Mejlbro_2008-5] Mejlbro, Leif (2008). The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples (PDF). c-9 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-395-6. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 10 نوفمبر 2019 على موقع واي باك مشين.

[Mejlbro_2010-6] Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF). a-3 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. ISBN 87-7681-702-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.

[Duran_2012-7] Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 89. ISBN 978-956141314-6. ISBN 956141314-0. "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)

[Weltner_2014-8] Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide (2 ed.). سبرنجر. ISBN 978-364254124-7. ISBN 3642541240. "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2020-05-08. اطلع عليه بتاريخ 2019-12-06.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)

[Reimers_Lapdf-9] Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf نسخة محفوظة 2019-11-10 على موقع واي باك مشين.

[10] Bacon، Harold Maile (1942). Differential and Integral Calculus. McGraw-Hill. ص. 203. مؤرشف من الأصل في 2014-07-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]