في الرياضيات ، حدوديات تشيبيشيف ( بالإنجليزية : Chebyshev polynomials ) هي حدوديات يعود اسمها إلى عالم الرياضيات الروسي بافنوتي تشيبيشيف ,[ 1] متتالية من حدوديات متعامدة لها صلة بصيغة دي موافر وتعرف ببساطة بواسطة ذاتية الاستدعاء .
عادة هناك فرق بين حدوديات تشيبيشيف من النوع الأول والتي يرمز لها ب T n حدوديات تشيبيشيف من النوع الثاني ويرمز لها U n
حدوديات تشيبيشيف T n U n n ومتواليات كثيرات حدود شيبيشيف لأي من النوعين تكون متواليات كثيرات حدود.
حدوديات تشيبيشيف مهمة في نظرية التقريب لأن جذور كثيرات حدود شيبيشيف ذات النوع الأول، والتي يطلق عليها أيضاً عقد شيبيشيف، تستخدم عقدا في استيفاء كثيرات الحدود .
في مجال المعادلات التفاضلية ، تأتي حدوديات تشيبيشيف حلولاً لمعادلة تشيبيشيف .
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\,\!}
و
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\,\!}
(الصنف الأول حل للمعادلة الأولى والثاني حل للمعادلة الثانية). هاتان المعادلتان حالتان خاصتان من معادلة ستورم-ليوفيل التفاضلية .
تعريف
تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول بالعلاقة التكرارية
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}
وتكون الدالة المولدة التقليدية لـ T n
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
ودالة التوليد الأسية هي
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
2
(
e
(
x
−
x
2
−
1
)
t
+
e
(
x
+
x
2
−
1
)
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}
تعرف كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الثاني بطريقة مشابهة
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}
من أمثلة الدوال المولدة لـ U n
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
تعريف بالنسب المثلثية
النوع الأول:
T
n
(
x
)
=
cos
(
n
arccos
x
)
=
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}
حيث:
T
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
cos
(
n
ϑ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!}
لقيم n = 0, 1, 2, 3,..., أما النوع الثاني:
U
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
ϑ
)
sin
ϑ
{\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,\!}
لهذه المتطابقة فائدة قصوى مع وجود صيغة التوليد التكرارية لأنها تسمح بحساب جيب التمام لأي تكامل من مضاعفات زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية الأساسية.بتقييم كثيرتي حدود شيبيشف الأوليتين:
T
0
(
x
)
=
cos
0
x
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=\cos \ 0x\ =1\,\!}
و:
T
1
(
cos
(
x
)
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle T_{1}(\cos(x))=\cos(x)\,\!}
يمكن بيان أن:
cos
(
2
ϑ
)
=
2
cos
ϑ
cos
ϑ
−
cos
(
0
ϑ
)
=
2
cos
2
ϑ
−
1
{\displaystyle \cos(2\vartheta )=2\cos \vartheta \cos \vartheta -\cos(0\vartheta )=2\cos ^{2}\,\vartheta -1\,\!}
cos
(
3
ϑ
)
=
2
cos
ϑ
cos
(
2
ϑ
)
−
cos
ϑ
=
4
cos
3
ϑ
−
3
cos
ϑ
{\displaystyle \cos(3\vartheta )=2\cos \vartheta \cos(2\vartheta )-\cos \vartheta =4\cos ^{3}\,\vartheta -3\cos \vartheta \,\!}
وهكذا.
تعريف معادلة بل
يمكن تعريف كثيرات حدود شيبيشف أيضاً بأنها حلول معادلة بل
T
i
2
−
(
x
2
−
1
)
U
i
−
1
2
=
1
{\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!}
في حلقة R[x ].[ 2]
T
i
+
U
i
−
1
x
2
−
1
=
(
x
+
x
2
−
1
)
i
.
{\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!}
العلاقة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني
العلاقة متشابهة بين كثيرات حدود شيبيشيف من النوع الأول والنوع الثاني بالمعالات التالية
d
d
x
T
n
(
x
)
=
n
U
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
T
n
(
x
)
=
1
2
(
U
n
(
x
)
−
U
n
−
2
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
T
n
(
x
)
=
U
n
(
x
)
−
x
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).}
العلاقة التكرارية لمشتقات كثيرات حدود شيبيشيف يمكن اشتقاقها من هذه العلاقات
2
T
n
(
x
)
=
1
n
+
1
d
d
x
T
n
+
1
(
x
)
−
1
n
−
1
d
d
x
T
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,\ldots }
تستعمل هذه العلاقة في طريقة طيفية شيبيشيف لحل المعادلات التفاضلية.
بالمثل، يمكن تعريف التعاقبين من أزواج معادلات تكرار متبادل :
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,\!}
U
−
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle U_{-1}(x)=0\,\!}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
U
n
(
x
)
=
x
U
n
−
1
(
x
)
+
T
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)\,}
صيغ صريحة
T
n
(
x
)
=
{
cos
(
n
arccos
(
x
)
)
,
x
∈
[
−
1
,
1
]
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
x
)
)
,
x
≥
1
(
−
1
)
n
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
(
−
x
)
)
,
x
≤
−
1
{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}
T
n
(
x
)
=
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
(
x
+
x
2
−
1
)
n
2
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
=
x
n
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
2
k
)
(
1
−
x
−
2
)
k
=
n
2
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
−
1
)
!
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
n
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
(
n
+
k
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
(
2
k
)
!
(
1
−
x
)
k
(
n
>
0
)
=
2
F
1
(
−
n
,
n
;
1
2
;
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=\,_{2}F_{1}\left(-n,n;{\frac {1}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
U
n
(
x
)
=
(
x
+
x
2
−
1
)
n
+
1
−
(
x
−
x
2
−
1
)
n
+
1
2
x
2
−
1
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
+
1
2
k
+
1
)
(
x
2
−
1
)
k
x
n
−
2
k
=
x
n
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
+
1
2
k
+
1
)
(
1
−
x
−
2
)
k
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
2
k
−
(
n
+
1
)
k
)
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
(
n
−
k
k
)
(
2
x
)
n
−
2
k
(
n
>
0
)
=
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
(
n
+
k
+
1
)
!
(
n
−
k
)
!
(
2
k
+
1
)
!
(
1
−
x
)
k
(
n
>
0
)
=
(
n
+
1
)
2
F
1
(
−
n
,
n
+
2
;
3
2
;
1
−
x
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}-(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}(1-x^{-2})^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}\quad (n>0)\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}\quad (n>0)\\&=(n+1)\,_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\frac {3}{2}};{\frac {1-x}{2}}\right)\end{aligned}}}
حيث
2
F
1
{\displaystyle _{2}F_{1}}
الخواص
التحويل
من المتطابقات المفيدة في تحويل كثيرات الحدود
T
n
(
1
−
2
x
2
)
=
(
−
1
)
n
T
2
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}\left(1-2x^{2}\right)=(-1)^{n}T_{2n}(x)}
و
U
n
(
1
−
2
x
2
)
x
=
(
−
1
)
n
U
2
n
+
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n}\left(1-2x^{2}\right)x=(-1)^{n}U_{2n+1}(x).}
الجذور والقيم القصوى
لأي من النوعين في كثيرات حدود شيبيشف من الدرجة n يوجد لها n جذور بسيطة مختلفة تدعى جذور شيبيشف في الفترة [−1,1]. باستعمال التعريف المثلثي والحقيقة القائلة بأن
cos
(
π
2
(
2
k
+
1
)
)
=
0
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}\,(2k+1)\right)=0}
يمن إثبات أن جذور T n
x
k
=
cos
(
π
2
2
k
−
1
n
)
,
k
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2k-1}{n}}\right),\quad k=1,\ldots ,n.}
بالمثل جذور U n
x
k
=
cos
(
k
n
+
1
π
)
,
k
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}
التفاضل والتكامل
باشتقاق كثيرات الحدود في صورها المثلثية، يمكن بسهولة الوصل لايلي:
d
T
n
d
x
=
n
U
n
−
1
{\displaystyle {\frac {dT_{n}}{dx}}=nU_{n-1}\,}
d
U
n
d
x
=
(
n
+
1
)
T
n
+
1
−
x
U
n
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dU_{n}}{dx}}={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\,}
d
2
T
n
d
x
2
=
n
n
T
n
−
x
U
n
−
1
x
2
−
1
=
n
(
n
+
1
)
T
n
−
U
n
x
2
−
1
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}T_{n}}{dx^{2}}}=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\,}
التعامدية
إن كلا من T n U n
1
1
−
x
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\,\!}
في الفترة (−1,1), أي أن:
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
n
≠
m
π
:
n
=
m
=
0
π
/
2
:
n
=
m
≠
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}
بالمثل، كثيرات الحدود من النوع الثاني تكون متعامدة بالنسبة للوزن
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}
على الفترة [−1,1], أي أن:
∫
−
1
1
U
n
(
x
)
U
m
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
{
0
:
n
≠
m
,
π
/
2
:
n
=
m
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}
الأصغرية ∞-طبيعي
لأي قيمة n ≥ 1, بين كثيرات الحدود من الدرجة n مع معامل أسبقية 1,
f
(
x
)
=
1
2
n
−
1
T
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}
هي تلك التي لها قيمة مطلقة أعظمية في الفترة [−1, 1] تكون أصغرية.
هذه القيمة الأعظمية تكون
1
2
n
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}
و|ƒ(x )| تصل لهذه القيمة العظمى تماماً n + 1
x
=
cos
k
π
n
for
0
≤
k
≤
n
.
{\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}{\text{ for }}0\leq k\leq n.}
صلتها بكثيرات حدود أخرى
T
n
(
x
)
=
1
(
n
−
1
2
n
)
P
n
−
1
2
,
−
1
2
(
x
)
=
n
2
C
n
0
(
x
)
,
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{n-{\frac {1}{2}} \choose n}}P_{n}^{-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}(x)={\frac {n}{2}}C_{n}^{0}(x),}
U
n
(
x
)
=
1
2
(
n
+
1
2
n
)
P
n
1
2
,
1
2
(
x
)
=
C
n
1
(
x
)
.
{\displaystyle U_{n}(x)={\frac {1}{2{n+{\frac {1}{2}} \choose n}}}P_{n}^{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}(x)=C_{n}^{1}(x).}
أمثلة
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول في المجال −1 < x < 1 :
الأسطح T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الأول هي
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle T_9(x) = 256x^9 – 576x^7 + 432x^5 – 120x^3 + 9x. \,}
بعض من كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني في المجال −1 < x < 1: الأسطح U 0 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 بعض كثيرات حدود شيبيشف الأولى من النوع الثاني هي
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
{\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
{\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
{\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
{\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
{\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}
U
8
(
x
)
=
256
x
8
−
448
x
6
+
240
x
4
−
40
x
2
+
1
{\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}
U
9
(
x
)
=
512
x
9
−
1024
x
7
+
672
x
5
−
160
x
3
+
10
x
.
{\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x.\,}
كمجموعة أساسات
في فضاء سوبوليف, تؤلف مجموعة كثيرات حدود شيبيشف مجموعة أساس مكتملة بحيث أن دالة في نفس الفضاء يمكن التعبير عنها على −1 ≤ x ≤ 1 بالنشر:[ 3]
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
T
n
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}
مثال 2
(
1
−
x
2
)
α
=
−
1
π
Γ
(
1
2
+
α
)
Γ
(
α
+
1
)
+
2
1
−
2
α
∑
n
=
0
(
−
1
)
n
(
2
α
α
−
n
)
T
2
n
(
x
)
=
2
−
2
α
∑
n
=
0
(
−
1
)
n
(
2
α
+
1
α
−
n
)
U
2
n
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})^{\alpha }=&-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+\alpha )}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\sum _{n=0}(-1)^{n}{2\alpha \choose \alpha -n}T_{2n}(x)\\=&2^{-2\alpha }\sum _{n=0}(-1)^{n}{2\alpha +1 \choose \alpha -n}U_{2n}(x).\end{aligned}}}
مراجع
ضبط استنادي
دولية وطنية أخرى
![{\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}\,\!}](./d9e04cd2a79ed30188c173e0d47a7a69846d8366.svg)
).svg.png)
).svg.png)
