معلومات عامة الاستعمال سُمِّي باسم يدرسه تعريف الصيغة
d
d
x
∫
α
(
x
)
β
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
=
f
(
x
,
β
(
x
)
)
β
′
(
x
)
−
f
(
x
,
α
(
x
)
)
α
′
(
x
)
+
∫
α
(
x
)
β
(
x
)
∂
f
(
x
,
y
)
∂
x
d
y
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y=f(x,\beta (x))\beta '(x)-f(x,\alpha (x))\alpha '(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\,\mathrm {d} y}
الرموز في الصيغة القائمة ...
f
{\displaystyle f}
: دالة اثنانية
[ لغات أخرى]
d
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}}
:
مشتق
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
: definite integral
[ الإنجليزية]
′
{\displaystyle '}
:
مشتق
∂
∂
x
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}
:
مشتق جزئي
قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز ، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,}
حيث أن
−
∞
<
a
(
x
)
,
b
(
x
)
<
∞
{\displaystyle -\infty <a(x),b(x)<\infty }
d
d
x
(
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
f
(
x
,
b
(
x
)
)
⋅
d
d
x
b
(
x
)
−
f
(
x
,
a
(
x
)
)
⋅
d
d
x
a
(
x
)
+
∫
a
(
x
)
b
(
x
)
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
,
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,}
حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f (x , t ) x يعتبر في اتخاذ مشتق.[ 1]
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
a
(
x
)
≡
a
{\displaystyle a(x)\equiv a}
b
(
x
)
≡
b
{\displaystyle b(x)\equiv b}
d
d
x
(
∫
a
b
f
(
x
,
t
)
d
t
)
=
∫
a
b
∂
∂
x
f
(
x
,
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}
حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن
الشكل 1: حقل متجه F (r , t ) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج. ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:[ 2]
d
d
t
∬
Σ
(
t
)
F
(
r
,
t
)
⋅
d
A
=
∬
Σ
(
t
)
(
F
t
(
r
,
t
)
+
[
∇
⋅
F
(
r
,
t
)
]
v
)
⋅
d
A
−
∮
∂
Σ
(
t
)
[
v
×
F
(
r
,
t
)
]
⋅
d
s
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}
حيث أن:
F (r , t ) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t ,Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،
d A هو متجه عنصر من سطح Σ،d s هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،∇⋅ هو متجه الاختلاف ،
× هو متجه عبر المنتج ،
إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.
الأبعاد العليا
يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:
d
d
t
∫
D
(
t
)
F
(
x
→
,
t
)
d
V
=
∫
D
(
t
)
∂
∂
t
F
(
x
→
,
t
)
d
V
+
∫
∂
D
(
t
)
F
(
x
→
,
t
)
v
→
b
⋅
d
Σ
,
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}
مزيد من القراءة
Frederick S. Woods (1934). Advanced Calculus (ط. New). Ginn and Company. ASIN :B0006AMNBI . Frederick S. Woods (1926). Advanced Calculus ASIN :B00085L67S . David V. Widder (يوليو 1990). Advanced Calculus (ط. New). Dover Publications Inc. ISBN :978-0-486-66103-2 .
القائمة ...
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}](./78e1920d1765de7da9577a03567e36b3d9d7409e.svg)
