حلول عددية للمعادلات التفاضلية

تعتبر المعادلات التفاضلية من الأدوات الرياضية الهامة في فهم العديد من المسائل الفيزيائية والهندسية والاجتماعية وقد امتدت أهميتها مؤخرا إلى حقول العلوم الاقتصادية وظهر ما يسمى بالنمذجة الرياضية.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر بشكل متغيرات المعادلة.

1. معادلات تفاضلية جزئية
2. معادلات تفاضلية عادية : هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد.

1. مسائل قيم ابتدائية.
2. مسائل قيم حدية.

مسائل القيم الابتدائية:

في هذا النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي للمتغيرات المستقلة

الشرط الابتدائي يمثل النقطة الابتدائية للدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية. ,${\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,y(a)=\alpha }$

فيما يلي بعض الطرق العددية لإيجاد الحل العددي للمعادلة التفاضلية.

قبل استعراض الحل التقريبي للطرق العددية لمسالة القيمة الابتدائية نحتاج لبعض التعاريف والنظريات .

تعريف

لتكن ${\displaystyle f(t,y)}$داله نقول أن f دالة من النوع ليبتشيز في متغير y على المجموعة D ,

${\displaystyle R^{2}\subset D}$

إذا وجد L>0

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq |y_{1}-y_{2}|}$

كلما أخذنا (t,y_1),(t,y_2) في D , يسمى L ثابت ليبتشيز للدالة f

مثال

أثبتي أن الدالة |f(t,y)=t|y تحقق شرط ليبتشيز في الفترة

${\displaystyle D=\left\{(t,y):{1\leq t\leq 2},{-3\leq y\leq 4}\right\}}$

الحل :

لأي زوج من النقاط (t,y_1),(t,y_2) في D

${\displaystyle |f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|=|t|y_{1}|-t|y_{2}||=|t|||y_{1}|-|y_{2}||\leq 2|y_{1}-y_{2}|}$

إذا ƒ تحقق شرط ليبتشيز ${\displaystyle L=2}$

نفرض أن ${\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}$

بحيث ${\displaystyle f(t,y)}$ دالة متصلة على D إذا كانت f دالة تحقق شرط ليبتشيز في متغير y على المجموعة D

فإن مسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle y'(t)=f(t,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,{y(a)=\alpha }}$

${\displaystyle y(t)}$ لها حل وحيد في الفترة ${\displaystyle {a\leq t\leq b}}$

مثال

أستخدم نظرية(1) لإثبات أنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle y'=1+t\sin(ty),\,\,\,{0\leq t\leq 2},\,\,\,y(0)=0}$

الحل :

t ثابت نطبق نظرية القيمة المتوسطة للدالة

${\displaystyle f(t,y)=1+t\sin(ty)}$

نجد أنه عندما ${\displaystyle y<y_{2}}$ , و ${\displaystyle \xi }$ عدد موجود في ${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$

${\displaystyle {\frac {f(t,y_{1})-f(t,y_{2})}{(y_{1},y_{2})}}\ ={{\frac {\partial }{\partial y}}\left(f(t,\xi )\right)=t^{2}\cos(\xi t)}}$

${\displaystyle |f(t,y_{2})-f(t,y_{1})|=|y_{2}-y_{1}||t^{2}\cos(\xi t)|\leq 4|y_{2}-y_{1}|}$

f تحقق شرط ليبتشيز والثابت هو ${\displaystyle L=4}$

وبالإضافة إلى ذلك ${\displaystyle f(t,y)}$متصلة عند ${\displaystyle {0\leq t\leq 2},\,\,\,{-\infty <y<\infty }}$

من نظرية (1) إنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

1. طريقة اويلر
2. طريقة تايلور

${\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }$

1. الخطأ النسبي لطريقة اويلر ناتج عن اختيار أول حدين من متسلسلة تايلور وحذف باقي الحدود.
2. كلما زادت الرتبة في طريقة تايلور فإن الدقة تكون أفضل.

• numerical analysis / Richard . Burden /J.Douglas Faires /ninth edition
• مقدمة في التحليل العددي د.مجدي الطويل