صيغة كوشي التكاملية

صيغة كوشي التكاملية

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أوغستان لوي كوشي
تعريف الصيغة	${\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\mathsf {C}}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}\,\mathrm {d} z}$
الرموز في الصيغة	القائمة ... ${\displaystyle f}$ : دالة رياضية ${\displaystyle \int _{\mathsf {C}}f(z)\,\mathrm {d} z}$ : contour integral [الإنجليزية] ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ : simple closed contour [الإنجليزية] ${\displaystyle \pi }$ : ط ${\displaystyle \mathrm {i} }$ : وحدة تخيلية

جزء من سلسلة مقالات حول
تحليل مركب
العدد المركب عدد حقيقي عدد تخيلي مستو مركب مرافق عدد مركب عدد مركب واحدي
دوال ذات قيم مركبة دالة مركبة دالة تحليلية دالة تحليلية تامة التشكل دالة تحليلية جزئية التشكل معادلات كوشي-ريمان متسلسلة قوى شكلية ‏
النظرية الأساس أصفار وأقطاب دالة مبرهنة التكامل لكوشي مشتق عكسي ‏ صيغة كوشي التكاملية عدد اللفات ‏ متسلسلة لوران نقطة شاذة معزولة ‏ مبرهنة الرواسب إسقاط تشكيلي توطئة شفارتس ‏ دالة توافقية معادلة لابلاس
شخصيات بارزة أوغستين لوي كوشي ليونهارت أويلر كارل فريدريش غاوس جاك هادامار كيوشي أوكا برنارد ريمان كارل فايرشتراس
بوابة رياضيات

  ميّز عن مبرهنة التكامل لكوشي.

  ميّز عن صيغة كوشي للتكامل المتكرر.

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية (بالإنجليزية: Cauchy's integral formula) على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.^[1][2]

ليكن U مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي C وليكن القرص المنغلق D المعرف كما يلي:

${\displaystyle D={\bigl \{}z:|z-z_{0}|\leq r{\bigr \}}}$

ضمن المجموعة U بشكل كامل.

${\displaystyle f(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over z-a}\,dz\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1+{\frac {a}{z}}+\left({\frac {a}{z}}\right)^{2}+\cdots }{z}}}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\oint _{C}{f(z) \over (z-a)^{n+1}}\,dz.}$

لتكن الدالة

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}$,

${\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}$

انظر إلى نعومة دالة.

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.}$

• معادلات كوشي-ريمان