هرم مربع

للهرم المربَّع 5 رؤوس و8 حروف و5 وجوه، أحد هذه الوجوه مربع، ويُسمَّى القاعدة، أما الوجوه الأخرى فهي مثلثات. ^[1] تُشكِّل 4 حروف القاعدة المربعة بوصلها بين 4 رؤوس، أما الحروف الأربعة الأخرى فتسمى حروف الهرم الجانبية، وهي تلتقي في الرأس الخامس الذي يُسمَّى قمة الهرم.^[2] لو وقع رأس الهرم على ناظم القاعدة المار في مركز المربع، فعندها يُوصف الهرم المربع بأنه قائم، وتكون الوجوه المثلثية عندها مثلثات متساوية الساقين. بخلاف ذلك، يوصف الهرف بأنه مُنحرِف. ^[3]

يُعرَّف الارتفاع المائل للهرم المربع ${\displaystyle a}$ بأنه ارتفاع أحد وجوه المثلثة متساوية الساقين، ويمكن حسابه بمبرهنة فيثاغورث بالعلاقة: $${\displaystyle a={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$ وفيها ${\displaystyle l}$ طول قاعدة المثلث، وهو نفسه ضلع مربع قاعدة الهرم، و${\displaystyle b}$ طول ساق المثلث، وهي نفسها حرف الهرم الجانبي.^[4] أما ${\displaystyle h}$، فهو عامد الهرم المربع القائم. ويمكن عندها حسابه بالعلاقة:^[5] $${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$

مساحة سطح متعدد وجوه هي مجموع مساحات وجوهه. أي يُعبَّر عن مساحة سطح هرم مربع قائم ${\displaystyle A}$ بالعلاقة: ${\displaystyle A=4T+S}$ وفيها ${\displaystyle T}$ مساحة أحد وجوهه المثلثة و${\displaystyle S}$ مساحة قاعدته على الترتيب. ويمكن تمثيل هذه الصيغة بدلالة طول قاعدة المثلث والارتفاع المائل للهرم المربع كما يأتي:^[6] $${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}la\right)+l^{2}=2la+l^{2}.}$$

حجم أي هرم ${\displaystyle V}$ عمومًا هو ثلث جُداء مساحة قاعدته بارتفاعه،^[7] أي:^[8] $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

اكتشف العديد من الرياضياتيين صيغة حساب حجم الهرم المربع حضارات بائدة عديدة. دوَّن الرياضياتيون في مصر القديمة في بردية موسكو الرياضية صيغة تظهر معرفتهم حساب حجم مبتور الهرم المربع، وهذا يعني أنهم كانوا على دراية بكيفية حساب حجم الهرم المربع، ولكن لا يُعرَف كيف حسبوا الصيغة. بالإضافة لما سبق، تتناول بردية ريند الرياضية مسائل حساب ميل الهرم المربع وارتفاعه.^[9] حاول البابليون حساب مساحة مبتور الهرم المربع، ولكن الصيغة التي أورودها غير صحيحة.^[10] حسب الرياضياتي الصيني ليو هوي حجم الهرم بطريقة التقسيم، فعمد إلى تقسيم مجسم مستطيل الشكل، يحوي الهرم، إلى قطع صغيرة، ثم حسب عدد القطع التي تشكل الهرم وحجمها.^[11]

لو كانت حروف المثلثات في الهرم المربع متساوية، وكانت وجوه الهرم مضلعات منتظمة، فإن الهرم يوُصف بأنه متساوي الحروف.^[12] الزوايا ثنائية الوجه بين كل وجهين مثلثين متجاورين هي ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$، وبين القاعدة وكل وجه مثلثي نصف تلك القيمة، أي: ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$.^[13] يُسمَّى متعدد الوجوه المحدَّب الذي تكون كل وجوهه مضلعات منتظمة مُجسَّم جونسون، الهرم المربع متساوي الحروف هو أبسط هذه المسجمات، ويدون بالصيغة:${\displaystyle J_{1}}$.^[14]

تتساوى أطوال حروف هذا الهرم، أي ${\displaystyle b=l}$، وهذا يعني أن حساب الارتفاع المائل للهرم المربع ${\displaystyle s}$ وعامده ${\displaystyle h}$ ومساحة سطحه حجمه، يكون بالعلاقات المستعملة للهرم المربع القائم مع استبدال ${\displaystyle l}$ بـ ${\displaystyle b}$، أي:^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

الهرم المربع متساوي الحروف متعدد وجوه ابتدائي، وهذا يعني أنه لا يمكن تقسيمه بمستوٍ إلى متعددي وجوه محدبين لهما وجوه منتظمة.^[16]