متباينة مينكوفسكي

في التحليل الرياضي، تنص متباينة مينكوفسكي( Minkowski inequality) على أن فضاءات L ^p هي متجهية معيارية . اترك ${\displaystyle S}$ ليكون مساحة قياس، و ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ثم ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L^{p}(S).}$ ثم بعدها ${\displaystyle f+g}$ هو في ${\displaystyle L^{p}(S),}$ و لدينا متباينة المثلث $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$ مع التساوي ل ${\displaystyle 1<p<\infty }$ إذا و فقط إذا كان ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي، ${\displaystyle f=\lambda g}$ لبعض ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ أو ${\displaystyle g=0.}$$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$ و إذا${\displaystyle p<\infty ,}$ أو في حالة ${\displaystyle p=\infty }$ بواسطة الحد الأقصى الأساسي $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في ${\displaystyle L^{p}(S).}$ إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية $${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$ حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.

كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد : $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$ و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ و عندما ${\displaystyle n}$ هي عددية ${\displaystyle S}$ أي عدد العناصر في ${\displaystyle S}$ .

المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.

أولاً، نثبت أن ${\displaystyle f+g}$ له حد ${\displaystyle p}$ - القاعدة إذا ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ كلاهما يفعل ذلك، و الذي يتبعه $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$ في الواقع، نستخدم هنا عادة حقيقة أن ${\displaystyle h(x)=|x|^{p}}$ محدبا على ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ (ل ${\displaystyle p>1}$ ) و بالتالي، و وفقًا لتعريف التحدب، $${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$ مما يعني أن $${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

الآن، يمكننا أن نتحدث بشكل منطقي عن ${\displaystyle \|f+g\|_{p}.}$ إذا كان صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. لنفترض الآن أن ${\displaystyle \|f+g\|_{p}}$ ليس صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر، نجد أن:$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

للحصول على متباينة مينكوفسكي يجب ضرب كلا الطرفين في $${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

لفترض أن ${\displaystyle (S_{1},\mu _{1})}$ و ${\displaystyle (S_{2},\mu _{2})}$ هما مساحتان قياس منتهيتان 𝜎 و ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ قابلة للقياس. إذن ستكون متباينة مينكوفسكي التكاملية على الشكل: ^{[1] [2]} $${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),}$$ مع تعديلات واضحة في الخالة${\displaystyle p=\infty .}$ لو ${\displaystyle p>1,}$ وكلا الجانبين محدودان، يتحقق التساوي فقط إذا ${\displaystyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السلبي ${\displaystyle \varphi }$ و ${\displaystyle \psi .}$

إذا ${\displaystyle \mu _{1}}$ هو مقياس العد لمجموعة من نقطتين ${\displaystyle S_{1}=\{1,2\},}$ إذن فمتباينة مينكوفسكي التكاملية تعطي متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع ${\displaystyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ ل ${\displaystyle i=1,2,}$ التفاوت المتكامل سيعطي $${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

إذا كانت الدالة قابلة للقياس${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ليست سالبة إذن للجميع ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ ^[3] $${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

و قد تم تعميم هذا الترميز على $${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$ ل ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ مع ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ باستخدام هذا الترميز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا ${\displaystyle p<q,}$ إذن ${\displaystyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}.}$

${\displaystyle p<1}$ فالتباين العكسي ينطبق على: $${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

نحن بحاجة أيضًا إلى التقييد الذي يفرضه كل من ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ ليست سالبة كما يمكننا أن نلاحظ من المثال ${\displaystyle f=-1,g=1}$ و ${\displaystyle p=1:}$${\displaystyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

تتبع المتباينة العكسية نفس الحجة التي تتبعها متباينة مينكوفسكي القياسية، لكنها تستخدم متباينة هولدر المعكوسة أيضًا في هذا النطاق

باستخدام متباينة مينكوفسكي العكسية، يمكننا إثبات أن متوسطات القوة مع p ≤ 1، مثل المتوسط التوافقي و الهندسي مقعرة.

تُعمم متباينة مينكوفسكي على وظائف أخرى ${\displaystyle \phi (x)}$ ما وراء دالة القدرة ${\displaystyle x^{p}.}$ التفاوت المعمم له الشكل التالي$${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

بشروط كافية مختلفة على ${\displaystyle \phi }$ تم العثور عليها بواسطة مولهولاند ^[4] و آخرين. مثلا، بالنسبة لـ ${\displaystyle x\geq 0}$ مجموعة واحدة من الشروط الكافية من مولهولاند هي:

1. ${\displaystyle \phi (x)}$ مستمرة و متزايدة بشكل صارم مع ${\displaystyle \phi (0)=0.}$
2. ${\displaystyle \phi (x)}$ هي دالة محدبة لـ ${\displaystyle x.}$
3. ${\displaystyle \log \phi (x)}$ هي دالة محدبة لـ ${\displaystyle \log(x).}$