علم قياس شكل الأرض

السطح الناظم عند أي نقطة على سطح التضاريس هو شعاع متجه يكون عموديًا على السطح. التدرج السطحي (${\displaystyle {\displaystyle \nabla f}}$) هو شعاع متجه يكون مماسًا للسطح، في اتجاه أشد تدرجا نزولًا.

يمثل "المنحدر" أو "الدرجة" مقياسًا لمدى انحدار التضاريس عند أي نقطة على السطح، من خلال انحرافها عن السطح الأفقي. من حيث المبدأ، هو الزاوية بين متجه الميل والمستوى الأفقي، ويعبر عنه إما بقياس زاوي α (شائع في التطبيقات العلمية) أو كنسبة الارتفاع/المسافة الأفقية (${\displaystyle p={\frac {rise}{run}}}$)، ويُعبر عنها عادة كنسبة مئوية، بحيث تكون( p = tan α). تستخدم النسبة المئوية بشكل متكرر في التطبيقات الهندسية مثل إنشاء الطرق والسكك الحديدية.

يتطلب اشتقاق المنحدر من النموذج الرقمي الارتفاعي الشبكي حساب تقريب منفصل للمشتقة السطحية بالاستناد إلى ارتفاع الخلية وارتفاع الخلايا المحيطة بها، وقد طُورت عدة طرق لذلك.^[12] على سبيل المثال، تستخدم طريقة هورنر، المطبقة في برنامج آرك جي آي اس، ارتفاع الخلية وجيرانها الثمانية المباشرين، المفصولين بحجم الخلية أو دقتها r:^[13][14]

وتُقرب المشتقات الجزئية بعد ذلك كمتوسطات مرجحة للفروق بين الجوانب المتقابلة:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}\approx {\frac {e_{NE}+2e_{E}+e_{SE}-e_{NW}-2e_{W}-e_{SW}}{8r}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}\approx {\frac {e_{NE}+2e_{N}+e_{NE}-e_{SW}-2e_{S}-e_{SW}}{8r}}}$

ثم يحسب المنحدر (بالنسبة المئوية) باستخدام نظرية فيثاغورس:

${\displaystyle \tan \alpha ={\sqrt {({\frac {\partial z}{\partial x}})^{2}+({\frac {\partial z}{\partial y}})^{2}}}}$

يمكن اشتقاق المشتقة الثانية للسطح (أي الانحناء) باستخدام حسابات مماثلة.

تعريض التضاريس عند أي نقطة على السطح هو الاتجاه الذي يواجهه المنحدر، أو الاتجاه الأساسي لأشد الانحدارات هبوطًا. من حيث المبدأ، هو إسقاط التدرج على المنحدر الأفقي. من الناحية العملية، عند استخدام نموذج الارتفاع الرقمي الشبكي، يقرب باستخدام إحدى طرق تقريب المشتقات الجزئية نفسها التي طورت للمنحدر. بعدها يحسب التعريض كالآتي:^[15]

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {\frac {\partial z}{\partial y}}{-{\frac {\partial z}{\partial x}}}}}$

ينتج عن ذلك اتجاه معاكس لاتجاه عقارب الساعة، بحيث تكون 0° عند الشرق.

من النواتج المفيدة الأخرى المشتقة من السطح التضاريسي صورة التجسيم المظلل، التي تقرب درجة إضاءة السطح من مصدر ضوئي قادم من اتجاه معين. من حيث المبدأ، تتناسب درجة الإضاءة عكسياً مع الزاوية بين متجه السطح العمودي ومتجه الإضاءة؛ فكلما اتسعت الزاوية بين المتجهين، كان ذلك النقطة على السطح أغمق. عملياً، يمكن حسابها من المنحدر (α) والتعريض (β)، مقارنة بارتفاع (ϕ) وسمت (θ) مقابلين لمصدر الضوء:^[16]

${\displaystyle i=\cos \phi \cos \alpha +\sin \phi \sin \alpha \cos(\theta -\beta )}$

نادراً ما تكون الصورة الناتجة مفيدة للأغراض التحليلية، ولكنها تستخدم غالباً كتصور بديهي لسطح التضاريس لأنها تبدو كنموذج ثلاثي الأبعاد مضاء للسطح.

غالباً ما يمكن التعرف على السمات التضاريسية الطبيعية، مثل الجبال والأودية، كأنماط في الارتفاع وخصائصها المشتقة. تتضمن الأنماط الأساسية المواقع التي تتغير فيها التضاريس فجأة، مثل القمم (الحد الأقصى للارتفاع المحلي)، والحفر (الحد الأدنى للارتفاع المحلي)، والحافة الجبلية (الحد الأقصى الخطي)، والقنوات (الحد الأدنى الخطي)، والممرات (تقاطعات الحواف والقنوات).

بسبب قيود الدقة وتوجه المحاور وتعريفات الكائنات، قد تنتج البيانات المكانية المشتقة معنى عبر الملاحظة الذاتية أو تحديد الوسيط، أو تُعالَج كبيانات ضبابية للتعامل مع الأخطاء المساهمة المتغيرة بطريقة كمية أكثر – على سبيل المثال، احتمالية 70% لإشارة نقطة إلى قمة جبل بالنظر إلى البيانات المتاحة، بدلاً من تخمين مدروس للتعامل مع عدم اليقين.^[17]

في العديد من التطبيقات، من المفيد معرفة مدى تباين السطح في كل منطقة محلية. على سبيل المثال، قد يحتاج المرء إلى التمييز بين المناطق الجبلية والهضاب العالية، وكلاهما مرتفع في الارتفاع ولكن بدرجات مختلفة من "الوعورة". يمثل التجسيم المحلي للخلية قياساً لهذا التباين في المنطقة المحيطة (عادةً الخلايا ضمن نصف قطر معين)، وقد استُخدمت عدة مقاييس لهذا الغرض، بما في ذلك إحصائيات وصفية بسيطة مثل النطاق الكلي للقيم في المنطقة المجاورة، أو الانحراف الربيعي، أو الانحراف المعياري. كما طُورت صيغ أكثر تعقيداً لالتقاط تباينات أدق.^[18]

في العديد من الحالات، تؤثر التضاريس تأثيرًا عميقًا في البيئات المحلية، خاصةً في المناخات شبه القاحلة والمناطق الجبلية. يشمل ذلك تأثيرات معروفة مثل التوزيع النطاقي الارتفاعي وتأثير المنحدر. مما يجعلها عاملًا مهمًا في نمذجة ورسم خرائط المناخات الصغرى وتوزيع الغطاء النباتي وموائل الحياة البرية والزراعة الدقيقة.

نظرًا لأن المياه تتدفق نحو الأسفل، يمكن أن تتنبأ المشتقات السطحية لتضاريس السطح بتدفقات المجاري المائية السطحية. يمكن استخدام ذلك لبناء شبكات المجاري المائية، وتحديد أحواض التصريف، وحساب إجمالي تراكم التدفق.

يمكن للجبال والأشكال الأرضية الأخرى أن تحجب الرؤية بين المواقع على الجانبين المتقابلين. يعد التنبؤ بهذا التأثير أداة قيمة لتطبيقات متنوعة مثل التكتيكات العسكرية وتحديد مواقع الخلوي. تتضمن الأدوات الشائعة في برامج تحليل التضاريس حساب خط الرؤية بين نقطتين وإنشاء مجال رؤية، وهو المنطقة التي تشمل جميع النقاط المرئية من نقطة واحدة.^[20]

تتطلب العديد من مشاريع البناء تعديلًا كبيرًا لسطح التضاريس، ويشمل ذلك إزالة المواد وإضافتها. بنمذجة السطح الحالي والمصمم، يستطيع المهندسون حساب حجم الحفريات والردميات، والتنبؤ بالمشكلات المحتملة مثل استقرار المنحدرات وإمكانية التآكل.