حول الحلزونات

بدأ أرخميدس أطروحته برسالة إلى دوسيثيوس الفرماوي "Dositheus of Pelusium" يذكر فيها موت كونون الساموسي كخسارة فادحة للرياضيات. ثم يمضي في تلخيص نتائج أعماله "حول الكرة والأسطوانة" ( Περὶ σφαίρας καὶ κυлίνδρου) وحول المخروطانيات والكروانيات (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων ).

درس الحلزون الأرخميدي لأول مرة على يد كونون ثم لاحقًا أرخميدس في كتابه حول الحلزونات. استطاع أرخميدس حساب مماسات مختلفة للحلزون.^[3]

يُعرّف الحلزون على النحو التالي:

إذا ثبتنا أحد طرفي خط مستقيم، ثم أدرنا الخط المستقيم بسرعة منتظمة في المستوى حتى يعود إلى الموضع الذي بدأ منه، وفي نفس ذات الوقت لو جعلنا نقطة تتحرك بسرعة منتظمة على طول الخط المستقيم، بدءًا من الطرف الثابت، فسيرسم مسار النقطة حلزونا في المستوى.[4]

ثلث أرخميدس الزاوية كما يلي:

بفرض أن الزاوية ABC يراد تثليثها. قسم القطعة المستقيمة BC لثلاثة أجزاء بحيث أن القطعة المستقيمة BD تساوي ثلث القطعة المستقيمة BC. ارسم دائرة مركزها B ونصف قطرها BD. افترض أن الدائرة التي مركزها B تتقاطع مع الحلزون عند النقطة E. الزاوية ABE تساوي ثلث الزاوية ABC.[5]

لتربيع الدائرة، قام أرخميدس بالتالي:

لتكن P نقطة على الحلزون عندما يكمل دورة واحدة. ليكن المماس عند النقطة P قاطعا للخط العمودي على النقطة OP عند النقطة T. OT هو طول محيط الدائرة التي يبلغ نصف قطرها OP.

أثبت أرخميدس سابقا عن طريق البرهان الأول في قياسات دائرة أن مساحة الدائرة تساوي مساحة مثلث قائم الزاوية أحد أضلعه القائمة منه مساوٍ لنصف القطر والآخر مُساوٍ لمحيط الدائرة. وبالتالي فإن مساحة الدائرة التي نصف قطرها OP تساوي مساحة المثلث OPT.^[6]