نموذج الإلكترون الحر

في فيزياء الجوامد نموذج الإلكترون الحر (بالإنجليزي: Free electron model) هو نموذج يدرس سلوك الكترونات التكافؤ في البلورات,

وضع هذا النموذج سمرفيلد بحيث يجمع بين نموذج درود الكلاسيكي وإحصاء فيرمي ديراك.

عندما تكون الطاقة الكامنة للجسيمات الحرة هي ${\displaystyle V(\mathbf {r} )=0}$ تكون معادلة شرودنجر للإلكترون الحر ^[1][2][3]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$

حل الدالة الموجية المعتمدة على الزمن ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ هو

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}$

عندما تكون الطاقة

${\displaystyle E=\hbar \omega }$

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

عندما يكون متجه موجي ${\displaystyle \mathbf {k} }$. ${\displaystyle \Omega _{r}}$ يساوي المساحة التي يتواجد فيها الإلكترون , بالتالي تكون الطاقة الحركية للإلكترون

${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$

فيكون حل الدالة الموجية بالنسبة للمحاور في معادلة شرودنجر هي

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t}}$