معادلات التلغراف

معادلات التلغراف في التقنية الكهربائية (بالإنجليزية: telegraph equations) هما معادلتان تفاضليتان خطيتان تصف الجهد والتيار الكهربائي في خط نقل واعتمادهما على المسافة في الموصل والزمن . توصل إلى تلك المعادلتين «أوليفر هيفيسايد» في عام 1880 حيث ابتكر نموذجا لخط نقل transmission line model . ويبين هذا النموذج أن موجة كهرومغناطيسية يمكنها الانعكاس في مثل هذا السلك وإمكانية ظهور عدة أشكال للموجة عبر طول الخط . وتنطبق النظرية والحسابات على خطوط النقل الكهربائي بمختلف الترددات ، من التردد العالي مثل خطوط التلغراف وتنطبق أيضا على موصلات تردد الراديو وأسلاك التليفون وخطوط القوى الكهربائية المنخفضة التردد وكذلك على موصلات التيار المستمر.

وحدة خط نقل

تصف معادلات التلغراف الجهد والتيار في موصل باستخدام معادلات ماكسويل . ومن وجهة التبسيط العملي يعتبر الموصل مكونا من مجموعة كبيرة من مكونات الكهربائية يوصل بينها سلكين ، يتكون الموصل من عدد كبير من وحدات نقل قصيرة ، مكونة من :

$R$ المقاومة الموزعة وتقاس بالأوم لوحدة الطول ،
ملفات حث متتابعة $L$ (تعمل بالحث المغناطيسي) وتقاس هنري/ وحدة الطول،
$C$ مكثف بين السلكين ، ويقاس فاراد/وحة الطول .
موصل $G$ من مادة عازلة كهربائية تعزل السلكين حيث يحمل أحدهما الإشارة والآخر عودة الإشارة ، ويقاس سيمنز لوحدة الطول. طبقا للنموذج هذا الموصل له مقاومة $1/G$ أوم .

يتكون خط النقل من عدد لا نهاية له من تلك الوحدات المبينة في الشكل وأن قيم الوحدات تعين بالنسبة إلى «وحدة الأطوال» . وتعتبر كل تلك العناصر لا تتغير مع الزمن وكذلك لا يتغير الجهد والتيار . أما بالنسبة إلى التردد فمن الممكن أن يتغير مع الزمن .

وظيفة كل عنصر

رسم توضيحي يبين سير موجة من دون فاقد في خط نقل وينتهي بمعاوقة توفيقية (مقاومة) . الأحمر يمثل الجهد ، والأسود إلكترونات.

يمكن وصف وظيفة كل عنصر كهربائي طبقا لما في الشكل :

ملف الحث L يجعل الإلكترونات كما لو كان لها قصور ذاتي ، فمن الصعب زيادة أو خفض التيار عن أي نقطة . الحاث الكبير تجعل الموجة تتقدم ببطء ، مثلما تتقدم موجة على حبل غليظ فتكون بطيئة عن عبورها لحبل خفيف ، وهي تخفض التيار بمعاوقتها .
المكثف C يضبط تنافر الإلكترونات وبالتالي يضبط مدى تجاذبهم . وعندما يكون المكثف كبيرا يكون الجاذب والتنافر صغيرين لأن السلك الثاني (الذي يحمل شحنة عكسية) يخفض من قوة التجاذب أو التنافر . (أو بمعنى آخر ] تعمل السعة الكبيرة على خفض الجهد). المكثف الكبير يجعل مرور الموجة بطيئا (يخفض الجهد عند نفس التيار) .
R هي مقاومة كل خط ، وG تسمح بقفز إلكترونات من سلك إلى سلك . الشكل إلى اليمين يبين خط نقل من دون فاقد ، حيث كل من R وG يساوي 0.

قيم الخصائص الأولية لكابل تليفون

القيم الخاصة لنوع 24 جوج تليفون ، معزول بالبولي إيثيلين PIC عند 70° فهرنهايت.

التردد	R	L	G	C
هرتز	Ω/kft	هنري/kft	µS/kft	nF/kft
1	52.50	0.1868	0.000	15.72
1k	52.51	0.1867	0.022	15.72
10k	52.64	0.1859	0.162	15.72
100k	58.41	0.1770	1.197	15.72
1M	141.30	0.1543	8.873	15.72
2M	196.03	0.1482	16.217	15.72
5M	304.62	0.1425	35.989	15.72

كما توجد قوائم لأنواع كابلات أخرى تعمل حتى 50 ميجا هرتز.

الوحدات في القائمة: أوم/1000 قدم ، مللي هنري/1000 قدم ومللي سيمنز /1000 قدم ، نانوفاراد/كيلو قدم.

ويعتمد تغير R وL على تأثير جلدي (فيزياء) skin effect وتأثير القرب.

معادلات التلغراف

الخصائص العامة

إذا افترضنا خط نقل مستقيم يمتد في الاتجاه $x$ ، فتكون معادلتي التلغراف له:

{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}&=-L'(x){\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}}&&\,-R'(x)I(x,t)\\{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}&=-G'(x)U(x,t)&&\,-C'(x){\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}\end{alignedat}}

وتعتمد الدالات $R'$ و $L'$ و $G'$ و $C'$ على المسافة على الخط . وفي العادة تكون تلك خصائص ثابتة للخط ولا تتغير بالمسافة عليه ، وهي تسمى«ثوابت الخط البدئية»:

R' معامل المقاومة ويقاس بالأوم/وحدة الأطوال،
C' معامل المكثف ويقاس بالسعة / وحدة الأطوال
L' معامل الحث ويعطي الحث/وحدة الأطوال،
G' معامل توصيل ويقاس بالاوم/وحدة الأطوال بين السلكين الموصلين للتيار .

استنتاج معادلتي التلغراف

يمكن استنتاج معادلتي التلغراف بتطبيق قانوني كيرشوف باعتبار خط النقل متكون من وحدات من تلك العناصر الكهربائية طول الوحدة $\Delta x$ . وتتكون الوحدة من : سعة مكثف $C=C'(x)\Delta x$ ، ومقاومة $R=R'(x)\Delta x$ ، وحثها الذاتي $L=L'(x)\Delta x$ . ويعبر عن الفاقد بين السلكين بالمقاومة العرضية $G=G'(x)\Delta x$ وهي عازلة بين السلكين .

وبتطبيق قانوني كيرشوف على تلك الوحدة المسلط عليها الجهد $U(x,t)$ على الملف ، والمكثف ، والمقاومة $R$ والجهد $U(x+\Delta x,t)$ في نهايتها ، فنحصل مع مراعاة الإشارات على:

U(x+\Delta x,t)-U(x,t)+RI(x+\Delta x,t)+L{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}=0.

وبالتعويض عن $L=L'(x)\Delta x$ و $R=R'(x)\Delta x$ في المعادلة فنجد :

U(x+\Delta x,t)-U(x,t)=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}},

فإذا كانت $\Delta x$ صغيرة ، نحصل على:

U(x+\Delta x,t)=U(x,t)+{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x

وينتج عن ذلك:

{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}\Delta x=-R'\Delta xI(x+\Delta x,t)-L'\Delta x{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.

وبالقسمة على $\Delta x$ نحصل على:

{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x+\Delta x,t)-L'{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}.

كما تنطبق في نفس الوقت :

I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x

وكذلك:

{\frac {\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}I(x,t)}{\partial x\partial t}}\Delta x

فإذا كانت $\Delta x$ صغيرة ، أي $\Delta x\rightarrow 0$ ، تتبسط المعادلة إلى $I(x,t)$ وبالتالي $\partial I(x,t)/\partial t$ .

وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على:

{\frac {\partial U(x,t)}{\partial x}}=-R'I(x,t)-L'{\frac {\partial I(x,t)}{\partial t}},

وهذه هي المعادلة الأولى من معادلتي التلغراف. وبتطبيق القانون الأول لكيرشوف نحصل على:

I(x+\Delta x,t)=I(x,t)-GU(x,t)-C{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.

وبالتعويض :

I(x+\Delta x,t)=I(x,t)+{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}\Delta x

وكذلك

G=G'(x)\Delta x

und

C=C'(x)\Delta x

تعطي بعد قسمتها على

\Delta x

المعادلة الثانية من معادلتي التلغراف :

{\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-G'U(x,t)-C'{\frac {\partial U(x,t)}{\partial t}}.

الفاقد خلال النقل

عندما يكون العنصران R وG صغيرين فيمكن إهمال تأثيرهما ويعتبر خط النقل مثاليا إذ لا يحدث فيه فاقد . في تلك الحالة فيعتمد النقل على L وC ، ونحصل على معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى ، تصف أحدهما الجهد V عبر خط النقل والأخرى I، وتغيرهما مع طول الخط x والزمن t: