متباينة غرونفل

مبرهنة غرونويل

معلومات عامة

سُمِّي باسم	توماس هاكن غرونفل [لغات أخرى] ريتشارد بيلمان
يدرسه	تفاضل وتكامل
تاريخ الاكتشاف أو الاختراع	1919
تعريف الصيغة	${\displaystyle {\begin{aligned}&u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\quad \forall t\in I^{\circ }\\\implies &u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}\quad \forall t\in I\end{aligned}}}$
الرموز في الصيغة	${\displaystyle I}$ : left closed interval [الإنجليزية] ${\displaystyle u}$ : real-valued function of a real variable [الإنجليزية] ، ‏دالة مستمرة ${\displaystyle \beta }$ : real-valued continuous function of a real variable [الإنجليزية] ، ‏دالة مستمرة ${\displaystyle \exp }$ : دالة أسية

سميت متباينة غرونفل، في الرياضيات، باسم واضعها الرياضياتي توماس هاكن غرونفل (1877-1932)، سنة 1919، وتمكّن هذه المتبانية من إيجاد دالة مقرّبة، للامساواة اشتقاقية ما. توجد المتباينة في صيغتين: تكاملية، واشتقاقية.

تعتبر متباينة غرونفل آداة الحصول على عدة حلول مقرّبة لمعادلات اشتقاقية عادية. وبالخصوص، تستعمل المتباينة للبرهنة على وحدة الحل لمشكلة كوشي، عبر مبرهنة كوشي-ليبشيتز.

لو كانت، لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، ${\displaystyle \phi (t)\geq 0}$ و${\displaystyle \psi (t)\geq 0}$ دالتين مستمرتين حيث:

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$، حيث ${\displaystyle K}$ و${\displaystyle L}$ ثابتين موجبين فإن :

${\displaystyle \phi (t)\leq K\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}}$

إذا كانت هذه العلاقة صحيحة:

${\displaystyle \phi (t)\leq K+L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\phi (s)\,\mathrm {d} s}$

فإن لدينا اللامساواة التالية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}(t)\leq L\psi (t)\phi (t).}$

و هو ما يتيح لنا أن نستنتج أن

${\displaystyle \phi (t)\leq \phi (t_{0})\exp \left(L\int _{t_{0}}^{t}\psi (s)\,\mathrm {d} s\right)}$

لكل ${\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{1}.}$