مبرهنة ستيوارت

في الهندسة الرياضية، تظهر مبرهنة ستيوارت العلاقة بين أطوال أضلاع مثلث وطول القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوسه والضلع المقابل لهذا الرأس.^[1]

إذا كانت a, b, c أضلاع مثلث ِABC، وكانت p قطعة مستقيمة من الرأس A إلى نقطة تقسم الضلع a إلى y و x عندها تعطى المبرهنة بالشكل التالي:

${\displaystyle b^{2}x+c^{2}y=a(p^{2}+xy)\,}$

بتطبيق قانون جيب التمام نجد أن:

${\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos \theta \,}$

و ${\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}-2px\cos(180-\theta )\,}$

بضرب المعادلة الأولى بـ x و المعادلة الثانية بـ y ينتج أن:

${\displaystyle b^{2}x=p^{2}x+y^{2}x-2pxy\cos \theta \,}$

${\displaystyle c^{2}y=p^{2}y+x^{2}y-2pxy\cos(180-\theta )\,}$

من خواص دالة الجيب التمام أن: ${\displaystyle \cos \alpha =-\cos {(\pi -\alpha )}\,}$

${\displaystyle \Rightarrow \cos \theta =-\cos {(180-\theta )}\Rightarrow -2pxy\cos \theta =+2pxy\cos(180-\theta )}$

و لهذا السبب عند جمع المعادلتين سيختفي ${\displaystyle -2pxy\cos \theta ,-2pxy\cos(180-\theta )\,}$ وسيبقى:

${\displaystyle b^{2}x+c^{2}y=p^{2}x+p^{2}y+y^{2}x+x^{2}y\,}$

${\displaystyle \Rightarrow b^{2}x+c^{2}y=p^{2}(x+y)+xy(y+x)\,}$

${\displaystyle x+y=a\because }$

${\displaystyle \Rightarrow b^{2}x+c^{2}y=p^{2}a+xya=a(p^{2}+xy)\,}$

و هو المطلوب.

• مبرهنة فيثاغورس
• مبرهنة منصف الزاوية
• مبرهنة أبولونيوس
• قانون جيب التمام