قانونا دي مورغان

قانونا دي مورغان

معلومات عامة

سُمِّي باسم	أغسطس دي مورغان
يدرسه	علم المنطق
تعريف الصيغة	${\displaystyle \neg (P\land Q)\vdash (\neg P\lor \neg Q).}$ ${\displaystyle \neg (P\lor Q)\vdash (\neg P\land \neg Q).}$
الرموز في الصيغة	القائمة ... ${\displaystyle P}$ : propositional formula [الإنجليزية] ${\displaystyle Q}$ : propositional formula [الإنجليزية] ${\displaystyle \land }$ : عطف منطقي ${\displaystyle \lnot }$ : نفي ${\displaystyle \lor }$ : فصل منطقي ${\displaystyle \vdash }$ : استنباط
قاعدة مقبولة في	منطق تقليدي [لغات أخرى]

تستخدم قانونا دي مورغان^[1] أو قانونا دو مورغان^[2]، اللتان تسميان أيضا بمبرهنة دي مورغان، في قواعد المنطق الرياضي في وصف نتيجة عكس عمليتي العطف المنطقي «و» (and) و الفصل المنطقي «أو» (or):

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

${\displaystyle \neg (p\vee q)\iff (\neg p)\wedge (\neg q)}$

${\displaystyle \neg (p\wedge q)\iff (\neg p)\vee (\neg q)}$

حيث أن:

• ${\displaystyle \neg }$ علامة تعبر عن النفي المنطقي «لا» (NOT)
• ${\displaystyle \wedge }$ علامة تعبر عن العطف المنطقي «و» (AND)
• ${\displaystyle \vee }$ علامة تعبر عن الفصل المنطقي «أو» (OR)
• ${\displaystyle \iff }$ علامة fiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانين جبر بول

الاتحاد والتقاطع يتبدلان تحت النفي.

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}.}$

حيث أن:

• ${\displaystyle {\overline {A}}}$ هي A منفية
• ${\displaystyle \cap }$ تعبير يدل على التقاطع (AND)
• ${\displaystyle \cup }$ تعبير يدل على الاتحاد (OR)

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ إذا وفقط إذا ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ و ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$.

${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

${\displaystyle x\notin {A\cap B}}$

${\displaystyle x\notin A}$ أو ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ أو ${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$ أو ${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$

${\displaystyle x\notin A}$ أو ${\displaystyle x\notin B}$

${\displaystyle x\notin {A\cap B}}$

${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$ و ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$لذلك ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.