طريقة ديكارت

في الرياضيات، طريقة ديكارت هي طريقة جبرية لحل المعادلات التربيعية و الرباعية.

لهذه الغاية، استعمل ديكارت تعميل الحدوديات من الدرجة n إلى جداء حدوديات من الدرجة الأولى ${\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})}$.

لحل المعادلة

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ,

نبدأ من العلاقتين التاليبين بين المعاملات والجذور:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}}$ ;

${\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ .

من العلاقة الأولى نصل لـ

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+p\quad {\text{et}}\quad x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-p}$ ,

حيث p هي قيمة تحددها العلاقة الثانية.

هذه الطريقة شائعة جدًا، لو لدينا عدد C عبارة عن مجموع عددين A وB، يمكننا دائمًا كتابة A كنصف مجموع C وقيمة معينة p، وبذا تصبح قيمة B بالضرورة نصف قيمة C ناقص p.

لنصل لـ

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}}+p\right)\left(-{\frac {b}{2a}}-p\right)={\frac {c}{a}}}$ ,

ونستنتج ±p ثم الجذرين.

ضمن ديكارت كتابه الهندسة (1637) طريقة لحل المعادلات من الدرجة الرابعة بمجهول واحد وتتلخص فيما يلي:

نعتبر المعادلة من الدرجة الرابعة في شكلها العام: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0~}$

نضع

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}~}$

فنجد:

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0~}$

يمكن تعميل رباعية الحدود اعلاه الى جداء حدوديتين من الدرجة الثانية حسب المبرهنة الاساسيةفي الجبر حيث معاملا حدي الدرجة الاولى للحدوديتين متقابلين لكون رباعية الحدود خالية من حد الدرجة الثالثة

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=(z^{2}+az+b)(z^{2}-az+c)~}$

ننشر فنجد:

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=z^{4}+(b+c-a^{2})z^{2}-a(b-c)z+bc~}$

حسب خاصية تساوي حدوديتين نستنتج أن:

${\displaystyle {\begin{cases}b+c-a^{2}=p\\a(b-c)=-q\\bc=r\end{cases}}}$

أي

${\displaystyle {\begin{cases}b+c=a^{2}+p\\b-c=-{\frac {q}{a}}\\bc=r\end{cases}}}$

بجمع المعادلتين الاوليين طرفا بطرف وطرحهما نحصل على${\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\bc=r.\end{cases}}}$

بتعويض b و c في المعادلة الثالثة نجد

${\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)\\{\frac {1}{4}}\left(a^{2}+p-{\frac {q}{a}}\right)\left(a^{2}+p+{\frac {q}{a}}\right)=r\end{cases}}}$

نستنتج أن

${\displaystyle (a^{2}+p)^{2}-{\frac {q^{2}}{a^{2}}}=4r}$.

أي

${\displaystyle a^{6}+2pa^{4}+(p^{2}-4r)a^{2}-q^{2}=0}$.

نضع y=a² فنحصل على

${\displaystyle y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0}$.

${\displaystyle a={\sqrt {y_{1}}}}$.

${\displaystyle {\begin{cases}b={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\c={\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\\a={\sqrt {y_{1}}}.\end{cases}}}$

إذن ${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$ تكافئ ${\displaystyle \left(z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)\left(z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)\right)=0}$.

• ${\displaystyle z^{2}+z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p-{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0}$
• ${\displaystyle z^{2}-z{\sqrt {y_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left(y_{1}+p+{\frac {q}{\sqrt {y_{1}}}}\right)=0}$

${\displaystyle z_{1}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}$

${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}\left(-{\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}$

${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}+{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}$

${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {y_{1}}}-{\sqrt {-y_{1}-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y_{1}}}}}}\right)}$.