طاقة دركليه

في الرياضيات، تعد طاقة دركليه مقياسًا لمدى تغير دالة رياضية.^[1] وبشكل تجريدي أكثر، فإنها دالة رياضية تربيعية في فضاء سوبوليف H¹. وترتبط طاقة دركليه ارتباطًا وثيقًا بمعادلة لابلاس، وقد تمت تسميتها على اسم عالم الرياضيات الألماني دركليه.

مع الأخذ في الاعتبار المجموعة المفتوحة Ω ⊆ Rⁿ والدالة الرياضية u : Ω → R، تكون طاقة دركليه في الدالة الرياضية u هي العدد الحقيقي

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u(x)|^{2}\,\mathrm {d} V,}$

حيث يشير ∇u : Ω → Rⁿ إلى حقل شعاعي متدرج للدالة الرياضية u.

حيث أنها عدد صحيح بقيمة غير سالبة، فإن طاقة دركليه غير سالبة في حد ذاتها، أي E[u] 0 لكل دالة رياضية u.

حل معادلة لابلاس

${\displaystyle -\Delta u(x)=0{\text{ for all }}x\in \Omega }$

(حسب الشروط الحدية الملائمة) تساوي حل مسألة التنوع للعثور على دالة رياضية u تفي بالشروط الحدية ويكون لها الحد الأدنى من طاقة دركليه.

ويطلق على مثل هذا الحل اسم الدالة الرياضية التناسفية وتعد هذه الحلول هي موضوع الدراسة في نظرية الاحتماليات.

• Lawrence C. Evans (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية. American Mathematical Society. {{استشهاد بكتاب}}: تجاهل المحلل الوسيط |الرقم المعياري= لأنه غير معروف، ويقترح استخدام |ردمك= (مساعدة)