دالة متناظرة

  ميّز عن دوال زوجية ودوال فردية ودالة تناظرية.

في الرياضيات، دالة متناظرة^[1] (بالإنجليزية: Symmetric function) عدد متغيراتها هو n هي دالة لا تتغير قيمتها عندما تتعرض مجموعة مداخلها إلى تبديل ما.^[2] رغم أنه هذا المفهوم قد يعرف بالنسبة إلى جميع أنواع الدوال، إلا أنه عادة ما يستعمل بالنسبة للدوال كثيرة الحدود.

• لتكن الدالة التالية

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$

من خلال التعريف، دالة متناظرة عدد متغيراتها هو n، تملك الخاصية التالية:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})}$ etc.

بشكل عام، قيمة الدالة لا تتغير عندما يُطبق تبديل ما على متغيراتها.

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$

وهكذا بالنسبة لجميع التباديل المطبقة على المتغيرات ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$.

• لتكن الدالة التالية:

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}$

إذا أخذ x مكان y وy مكان x، فإن الدالة تصير كما يلي:

${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}$

• لتكن الآن الدالة التالية:

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}}$

إذا أخذ x مكان y وy مكان x، فإن الدالة تصير كما يلي:

${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$

هذه الدالة، بطبيعة الحال، تختلف عن الدالة الأصلية إذا كان a ≠ b، مما يجعل منها دالة غير متناظرة.